Leçon 3 Nombres entiers - Mathématiques de Kuina-chan

17 mars 2026

Kuina-chan

« Mathématiques de Kuina-chan » La Leçon 3 explique les nombres entiers, y compris les nombres négatifs ! Il est supposé que vous avez lu la Leçon 1.

La Leçon 2 a prouvé «

» en utilisant les axiomes des ensembles, des nombres naturels et de l’addition. Cependant, même sans évoquer ces axiomes, nous sommes convaincus que «

». Ainsi, nous arrêterons de prouver des choses comme «

$\times$

» et «

» à la manière de la leçon précédente, acceptant qu’elles peuvent être prouvées si l’on y tient, et nous nous concentrerons dorénavant sur « les choses dont nous ne savons pas vraiment si elles sont vraies ».

1.Nombres Entiers

Dans la Leçon 2, nous avons exprimé les nombres naturels comme l’ensemble « $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ », mais si nous incluons des nombres avec un signe moins attaché (sauf

), nous les appelons des « nombres entiers ». C’est-à-dire, si l’ensemble de tous les entiers est $\mathbb{Z}$ , alors « $\mathbb{Z}$ $\{$ $\dots$ $\dots$ $\}$ ».

Les nombres supérieurs à

sont appelés nombres « positifs », et les nombres inférieurs à

sont appelés nombres « négatifs ».

n’est ni l’un ni l’autre.

Comme vous le savez, pour deux entiers quelconques

, nous pouvons effectuer l’addition «

», la soustraction «

», et la multiplication «

$\times$

». «

$\times$

» est parfois écrit « $\cdot$ », ou souvent le symbole de multiplication est omis et écrit « ». Dans cet article, nous l’écrirons ainsi à partir de maintenant.

1.1Exponentiation

Pour un entier

et un entier

supérieur ou égal à

, « multiplié fois » est écrit « $^{b}$ » et est appelé « exponentiation ». Par exemple, «

$^{3}$ » est «

$\cdot$

», qui vaut

. «

$^{4}$ » est «

$\cdot$

», qui vaut

Cependant, pour tout nombre

qui n’est pas

, nous définissons «

$^{0}$

». Par exemple, «

$^{0}$

» et «

$^{0}$

».

Note

Si vous regardez « 2⁵ = 32 », « 2⁴ = 16 », « 2³ = 8 », « 2² = 4 », « 2¹ = 2 », le résultat est divisé par deux à chaque fois, donc vous pouvez voir qu’il est naturel de penser « 2⁰ = 1 ».

$^{0}$ » est parfois défini comme «

» par commodité, mais pour diverses raisons, il est souvent laissé indéfini.

Note

Une raison pour laquelle « 0⁰ » est généralement indéfini est que regarder « 3⁰ = 1 », « 2⁰ = 1 », « 1⁰ = 1 » rend naturel de penser « 0⁰ = 1 », mais regarder « 0³ = 0 », « 0² = 0 », « 0¹ = 0 » rend naturel de penser « 0⁰ = 0 », menant à une contradiction.

Les lois suivantes s’appliquent à l’exponentiation.

(1) est clair car multiplier «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

fois) » et «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

fois) » résulte en «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

fois au total) ».

(2) implique une division, ce qui réduit le nombre de

, donc le compte de

devient une soustraction.

(3) signifie que «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

fois) » est lui-même répété

fois, résultant en «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

$\cdot$

fois) ».

(4) signifie «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

(

fois chacun pour

) », donc réorganiser l’ordre donne «

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

$\cdot$

$\cdot$ $\dots$ $\cdot$

(

fois chacun pour

) ».

1.2Valeur Absolue

La distance d’un entier

par rapport à

est appelée la « valeur absolue » de

, notée « ». Par exemple, la valeur absolue de

est «

», et la valeur absolue de

est «

».

La valeur absolue peut être vue comme « laisser les nombres positifs tels quels, et enlever le signe moins des nombres négatifs ».

Plus strictement définie, c’est comme suit :

Par exemple, si

, puisque

, alors

2.Propriétés des Entiers

Maintenant, expliquons diverses propriétés des entiers.

2.1Quotient et Reste

La division de deux entiers (

) peut résulter en une valeur qui n’est pas un entier. Par conséquent, nous définissons « quotient » et « reste » où les résultats du calcul restent des entiers.

Lors de l’opération «

», le « quotient » est le nombre d’objets par personne lorsque objets sont distribués parmi personnes. Le « reste » est le nombre d’objets restants qui n’ont pas pu être distribués. Par exemple, pour «

», le quotient est

et le reste est

« Le quotient de

étant

et le reste

» signifie « lorsque objets sont distribués parmi personnes, chacun reçoit objets et il reste objet », ce qui peut être reformulé comme « il y a personnes avec chacune objets, et en les combinant avec le objet restant, cela donne objets ». Cela peut s’écrire «

$\cdot$

». En d’autres termes, « quotient et reste de » sont définis comme des nombres satisfaisant « $\cdot$ ».

Par exemple, en considérant «

», le quotient est

et le reste est

. En remplaçant

par

, le quotient

par

, et le reste

par

dans l’équation ci-dessus, on obtient « $\cdot$ et

$\leq$

», ce qui satisfait effectivement l’expression mathématique.

Dans l’expression ci-dessus, le quotient et le reste lorsque

vaut

sont indéfinis. C’est-à-dire, «

» etc. sont indéfinis.

2.2Divisibilité, Diviseurs et Multiples

Si le reste de est , nous disons que «

divise

» (ou

est divisible par

). Par exemple, «

» a un reste de

, donc

divise

. Aussi, «

» a un reste de

, donc

divise

Lorsque

divise

est appelé un « diviseur » de

, et

est appelé un « multiple » de

. Par exemple, puisque

divise

est un diviseur de

, et

est un multiple de

Lister les diviseurs de

par ordre croissant donne «

». Les multiples de

sont « $\dots$

$\dots$ », ce qui est l’ensemble de tous les nombres pairs.

Puisque

divisent tous les entiers, les multiples de

sont tous les entiers. Tous les entiers sauf

divisent

, donc les diviseurs de

sont tous les entiers sauf

2.3Diviseurs Communs et Multiples Communs

Maintenant considérons les diviseurs communs et les multiples communs de deux entiers ou plus.

Un diviseur commun à

est appelé un « diviseur commun » de

. En d’autres termes, si

divise

, l’entier

est appelé un « diviseur commun » de

. Par exemple,

divise

, donc

est l’un des diviseurs communs de

Un multiple commun à

est appelé un « multiple commun » de

. En d’autres termes, si

divise

, l’entier

est appelé un « multiple commun » de

. Par exemple,

divise

, donc

est l’un des multiples communs de

Pour trois nombres ou plus, les diviseurs communs et les multiples communs peuvent être définis de manière similaire.

2.4Plus Grand Commun Diviseur et Plus Petit Commun Multiple

Le plus grand des diviseurs communs de

est appelé le « plus grand commun diviseur » de

, souvent noté « $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

». Le plus petit des multiples communs positifs de

est appelé le « plus petit commun multiple » de

, souvent noté « $\rm{p}$ $\rm{p}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

».

Note

pgcd signifie « plus grand commun diviseur », et ppcm signifie « plus petit commun multiple ».

Par exemple, les diviseurs de

sont «

», et les diviseurs de

sont «

». Les diviseurs communs de

sont les «

» partagés, et le plus grand commun diviseur est le plus grand parmi eux, donc $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

Aussi, les multiples positifs de

sont «

$\dots$ », et les multiples positifs de

sont «

$\dots$ ». Les multiples communs positifs de

sont les «

$\dots$ » partagés, et le plus petit commun multiple est le plus petit parmi eux, donc $\rm{p}$ $\rm{p}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

Pour des entiers positifs

, il existe une loi selon laquelle « $\cdot$ $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$ $\cdot$ $\rm{p}$ $\rm{p}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$ ». Par exemple, puisque « $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

» et « $\rm{p}$ $\rm{p}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

», en remplaçant dans «

$\cdot$

$\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

$\cdot$ $\rm{p}$ $\rm{p}$ $\rm{c}$ $\rm{m}$

» on obtient «

$\cdot$

», résultant en «

», ce qui est vrai. En utilisant cela, si vous connaissez soit le plus grand commun diviseur soit le plus petit commun multiple, vous pouvez facilement calculer l’autre.

2.5Algorithme d’Euclide

Trouver le plus grand commun diviseur directement prend du temps, mais utiliser l’« algorithme d’Euclide » décrit ci-dessous le rend plus rapide.

Par exemple, trouver le plus grand commun diviseur de et en utilisant l’algorithme d’Euclide est comme suit.

Généralement, répéter la division est plus facile que lister les diviseurs communs, rendant cette méthode pratique.

3.Nombres Premiers

Un entier

supérieur ou égal à

dont les diviseurs positifs sont seulement et est appelé un « nombre premier ». Par exemple,

est un nombre premier car ses diviseurs positifs sont seulement

n’est pas un nombre premier car il a

comme diviseur en plus de

En d’autres termes, un nombre premier est un entier supérieur ou égal à

qui « ne peut être divisé par aucun entier positif autre que ‘1 et lui-même’ ». Les entiers supérieurs ou égaux à

qui ne sont pas des nombres premiers sont appelés « nombres composés ».

Lister les nombres premiers par ordre croissant donne «

$\dots$ ». Il y a une infinité de nombres premiers. L’apparition des nombres premiers semble irrégulière, et la recherche pour capturer leurs règles se poursuit depuis les temps anciens jusqu’à présent.

Les nombres premiers peuvent être obtenus en utilisant une méthode appelée le « Crible d’Ératosthène ». Cette méthode utilise le fait que « parmi les entiers supérieurs ou égaux à

, ceux qui ne sont pas des multiples d’autres nombres premiers sont des nombres premiers », et est effectuée comme suit.

3.1Factorisation Première

Tous les entiers positifs peuvent être exprimés comme un produit de nombres premiers. Par exemple, «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», «

$\cdot$

», etc. Exprimer un entier positif comme un produit de nombres premiers de cette manière est appelé « factorisation première ».

Chaque nombre premier qui apparaît lors de la factorisation première est appelé un « facteur premier ». Par exemple, puisque «

$\cdot$

», les facteurs premiers de

sont

Tout entier positif peut toujours être factorisé en nombres premiers, et le schéma est limité à une seule façon si l’ordre de multiplication est ignoré. Par exemple, en utilisant l’exponentiation, «

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{2}$

$^{0}$

$^{0}$ $\dots$ », «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$ », «

$^{1}$

$^{0}$ $\dots$ ». Cette propriété est appelée le « Théorème Fondamental de l’Arithmétique » (ou unicité de la factorisation première) et est utilie pour prouver d’autres théorèmes.

La raison pour laquelle

n’est pas inclus dans les nombres premiers est que si

était inclus, «

$^{0}$

$^{1}$ $\dots$

$^{1}$

$^{1}$ $\dots$

$^{2}$

$^{1}$ $\dots$

$^{3}$

$^{1}$ $\dots$ », et l’unicité de la factorisation première ne tiendrait plus.

3.2Premiers Entre Eux

Lorsque deux entiers

n’ont aucun diviseur commun autre que

, c’est-à-dire, lorsque $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

sont dits être « premiers entre eux ». Par exemple, puisque $\rm{p}$ $\rm{g}$ $\rm{c}$ $\rm{d}$

sont premiers entre eux.

Dire que des entiers positifs

sont « premiers entre eux » est équivalent à dire que

n’ont « aucun facteur premier commun ». Par exemple, de

$\cdot$

ne contiennent pas de facteurs premiers communs, donc ils peuvent être dits premiers entre eux.

4.Arithmétique Modulaire

Maintenant, en revenant au sujet des restes dans la division, « le reste lorsque

est divisé par

est », et « le reste lorsque

est divisé par

est aussi », donc ils correspondent. Cela peut être dit comme « dans le monde des restes lorsque les entiers sont divisés par ,

est vrai ». Lorsque les restes divisés par

correspondent de cette manière, nous disons « et sont congrus modulo » et écrivons « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ».

Généralement, pour un entier positif

, lorsque les restes de

correspondent, nous disons « et sont congrus modulo » et écrivons « $\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Lorsqu’ils ne correspondent pas, nous écrivons « $\not\equiv$ $\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$ ». Une expression écrite de cette manière est appelée une « congruence » (ou arithmétique modulaire).

Par exemple, « le reste de

divisé par

» est le même que « le reste de

divisé par

», donc «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

». D’autre part, « le reste de

divisé par

» est différent du « reste de

divisé par

», donc «

$\not\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

».

Les congruences ont la propriété qu’elles tiennent même si le même nombre est ajouté, soustrait, ou multiplié aux deux côtés.

Par exemple, puisque «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

» est vrai, multiplier les deux côtés par

donne «

$\equiv$

$\rm{m}$ $\rm{o}$ $\rm{d}$

», qui est aussi vrai.

5.Équations Diophantiennes

Enfin, relevons un défi spécifique appliquant les propriétés des entiers introduites jusqu’ici. C’est un problème appelé « équation diophantienne ».

Une « équation » est un problème pour trouver la valeur d’une variable qui satisfait une égalité, tel que « Trouver

satisfaisant

». La valeur de la variable pour laquelle l’égalité est vraie est appelée la « solution » de l’équation.

Parmi les équations, les « équations diophantiennes » réfèrent à celles où l’équation a une infinité de solutions (souvent sur les réels, mais on cherche typiquement des solutions entières). Par exemple, « Trouver la combinaison de

satisfaisant

». Dans ce cas, «

» et «

» sont des solutions.

De cette manière, les équations diophantiennes ont souvent une infinité de solutions, mais en ajoutant des conditions, le nombre de solutions peut devenir fini. Regardons un problème qui peut être résolu comme un puzzle en utilisant de telles conditions.

5.1Problème

Relevons le problème d’équation diophantienne spécifique suivant.

5.2méthode de Résolution

D’abord, construisons l’équation diophantienne. Soit l’entier à

chiffres

ayant les chiffres

à partir du haut. Par exemple, si

, alors

. Alors

peut être exprimé comme

Puisque l’inverser résulte en

fois le nombre original, l’équation suivante est formée.

Le côté gauche est

fois

, et le côté droit est le nombre inversé.

Telle quelle, cette expression contient 4 variables et est une équation diophantienne avec potentiellement beaucoup de solutions, donc réduisons les solutions en utilisant diverses conditions.

5.3Trouver la valeur de a

D’abord, si

serait de

chiffres ou moins, donc il doit être

. Aussi, si

$\geq$

, multiplier par

résulterait en

chiffres ou plus, donc il doit être

. C’est-à-dire, est soit soit .

Ici, si nous supposons

, l’équation devient «

$\cdot$

», et le chiffre des unités sur le côté droit est « 1 ». Le côté gauche est un entier multiplié par

, mais il n’y a aucun entier qui devient 1 au chiffre des unités lorsque multiplié par 4 (il doit être pair), donc les côtés gauche et droit ne correspondent jamais. En d’autres termes, il est clair qu’aucune solution n’existe lorsque

. Par conséquent, si une solution existe, c’est seulement lorsque .

5.4Trouver la valeur de d

En remplaçant

, l’équation devient «

$\cdot$

». Ici, le chiffre des unités sur le côté droit est «

». Le chiffre des unités d’un entier multiplié par

devenant

arrive seulement pour «

$\cdot$

» et «

$\cdot$

», donc , qui est le chiffre des unités de , est soit soit .

, l’équation est «

$\cdot$

», mais en organisant cela donne «

». Remplacer n’importe quelle valeur de

dans

résulte en

étant un nombre négatif, donc

$\neq$

. Par conséquent, si une solution existe, c’est seulement lorsque .

5.5Trouver les valeurs de b et c

En remplaçant

, l’équation devient «

$\cdot$

». En transformant cela, on obtient «

». Pour que «

» soit un entier, essayer des valeurs de

pour

montre que est la seule solution.

En remplaçant

dans

, nous obtenons

$\cdot$

, donc .

Par conséquent, de

, nous obtenons . En calculant

$\cdot$

, on obtient

, confirmant que « multiplier par

résulte en l’ordre inverse du nombre original ».

Dans cette leçon, nous avons introduit les propriétés de base des entiers. La prochaine fois, nous expliquerons les « nombres réels » et les « fonctions » et les « applications », qui sont importants pour manipuler ces nombres !

Leçon 3Nombres entiers

1.Nombres Entiers

1.1Exponentiation

1.2Valeur Absolue

2.Propriétés des Entiers

2.1Quotient et Reste

2.2Divisibilité, Diviseurs et Multiples

2.3Diviseurs Communs et Multiples Communs

2.4Plus Grand Commun Diviseur et Plus Petit Commun Multiple

2.5Algorithme d’Euclide

3.Nombres Premiers

3.1Factorisation Première

3.2Premiers Entre Eux

4.Arithmétique Modulaire

5.Équations Diophantiennes

5.1Problème

5.2méthode de Résolution

5.3Trouver la valeur de a

5.4Trouver la valeur de d

5.5Trouver les valeurs de b et c

Leçon 3
Nombres entiers