Leçon 2 Ensembles et nombres naturels - Mathématiques de Kuina-chan

18 mars 2026

Kuina-chan

« Mathématiques de Kuina-chan » Dans la Leçon 2, nous expliquerons les bases des mathématiques et le déroulement de la preuve à travers «

» ! Nous supposons que vous avez lu la Leçon 1.

La Leçon 1 a expliqué les règles de base des mathématiques.

Cette fois, nous allons prouver « » à partir d’axiomes concrets. Mais avant cela, je voudrais expliquer l’élément le plus fondamental des mathématiques, l’« Ensemble ». En mathématiques, fondamentalement tout, à commencer par des nombres comme «

», est considéré comme étant fait d’« Ensembles ».

1.Théorie naïve des ensembles

1.1Ensembles et Éléments

Un « Ensemble » est une « collection de plusieurs choses ». « Plusieurs choses » est vague, mais historiquement, les ensembles ont commencé à partir d’une telle compréhension vague. Finalement, cela sera défini rigoureusement.

Aussi, ces « plusieurs choses » sont appelées « Éléments ». Et quand un élément

est dans un ensemble $\bm{X}$ , nous disons que l’élément

« appartient à » l’ensemble $\bm{X}$ et nous écrivons « $\in$ $\bm{X}$ ».

Dans cette figure, l’élément

appartient à l’ensemble $\bm{X}$ , donc c’est « $\in$ $\bm{X}$ ». D’autre part, l’élément

et l’élément

n’appartiennent pas à l’ensemble $\bm{X}$ , et dans de tels cas où ils n’appartiennent pas, nous écrivons « $\notin$ $\bm{X}$ » et « $\notin$ $\bm{X}$ ».

1.2Notation en extension et en compréhension

Il y a deux façons d’exprimer quels éléments appartiennent à un ensemble. Ce sont la « Notation en extension » et la « Notation en compréhension ».

La « Notation en extension » est une méthode consistant à énumérer les éléments qui appartiennent à l’ensemble. Par exemple, lorsque les éléments « Chien », « Chat » et « Lapin » appartiennent à l’ensemble $\bm{X}$ , en notation en extension nous écrivons « $\bm{X}$ $\{$ ChienChatLapin $\}$ ».

La « Notation en compréhension » est une méthode consistant à décrire les propriétés des éléments. Par exemple, lorsque tous les animaux appartiennent à l’ensemble $\bm{X}$ , en notation en compréhension nous écrivons « $\bm{X}$ $\{$ est un animal $\}$ ». Ici, nous avons utilisé le symbole

, mais vous pouvez utiliser n’importe quel symbole et écrire « $\{$ symbolecondition utilisant le symbole $\}$ », ce qui signifie l’ensemble de toutes les choses qui satisfont cette condition.

Vous pouvez utiliser soit la notation en extension, soit la notation en compréhension, et celle qui peut être exprimée de manière plus concise est utilisée.

1.3Sous-ensemble et Égalité

Ensuite, expliquons la relation entre les ensembles. Par exemple, si « $\bm{X}$

$\{$ Chien semicolon

Chat

Lapin $\}$ » et « $\bm{Y}$

$\{$ Chien semicolon

Chat $\}$ », tous les éléments de $\bm{Y}$ sont des éléments de $\bm{X}$ . Dans ce cas, nous disons que l’ensemble $\bm{Y}$ est « inclus dans » l’ensemble $\bm{X}$ (ou est un sous-ensemble de $\bm{X}$ ) et nous écrivons « $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ ».

« Appartient à ( $\in$ ) » et « Inclus dans ( $\subset$ ) » se ressemblent en symbole et en sens, mais vous devez faire attention à ne pas les confondre. « Appartient à » est la relation entre un élément et un ensemble, tandis que « Inclus dans » est la relation entre des ensembles.

Note

Étant donné que presque tout est traité comme un ensemble dans les mathématiques modernes, généralement les éléments d’un ensemble sont aussi des ensembles, donc la distinction entre « appartient à » et « inclus dans » est compliquée. « L’ensemble Y appartient à l’Ensemble X » signifie que l’Ensemble Y est l’un des éléments de l’Ensemble X, tandis que « L’ensemble Y est inclus dans l’Ensemble X » signifie que tous les éléments de l’Ensemble Y apparaissent dans les éléments de l’Ensemble X.

Aussi, lorsque tous les éléments correspondent entre l’ensemble $\bm{X}$ et l’ensemble $\bm{Y}$ , nous disons que l’ensemble $\bm{X}$ et l’ensemble $\bm{Y}$ sont « égaux » et nous écrivons « $\bm{X}$ $\bm{Y}$ ». S’ils ne sont pas égaux, nous écrivons « $\bm{X}$ $\neq$ $\bm{Y}$ ». L’ordre des éléments dans un ensemble n’a pas d’importance, et les éléments dupliqués sont considérés comme un seul. C’est-à-dire, si « $\bm{X}$

$\{$ Chien semicolon

Chat

Lapin $\}$ » et « $\bm{Y}$

$\{$ Lapin semicolon

Chat

Chien

Chien $\}$ », alors « $\bm{X}$

$\bm{Y}$ » est vrai.

Les symboles «

» et « $\neq$ » sont aussi utilisés lors de la comparaison d’éléments. Si l’élément

et l’élément

sont la même chose, nous écrivons «

», et s’ils sont différents, nous écrivons «

$\neq$

».

1.4Ensembles d’ensembles

Maintenant, nous pouvons aussi considérer « un ensemble dont les éléments sont des ensembles ». Par exemple, un ensemble avec « Chien » comme élément est « $\{$ Chien $\}$ », mais un ensemble avec cet ensemble comme élément est « $\{$ $\{$ Chien $\}$ $\}$ ».

Par exemple, si « Ensemble $\bm{X}$

$\{$ $\{$ Chien $\}$ semicolon

$\{$ Chat $\}$ $\}$ », « Ensemble $\bm{Y}$

$\{$ $\{$ Chien $\}$ $\}$ » et « Ensemble $\bm{Z}$

$\{$ Chien $\}$ », alors « $\bm{Y}$ $\subset$ $\bm{X}$ » et « $\bm{Z}$ $\in$ $\bm{X}$ ». Veuillez faire attention à savoir si c’est une relation entre un élément et un ensemble, ou une relation entre des ensembles.

1.5Union et Intersection

Dans l’explication des propositions dans la Leçon 1, nous avons expliqué « ou ( $\lor$ ) » et « et ( $\land$ ) », et les ensembles ont des choses similaires. Pour les ensembles, « ou » est représenté par le symbole « $\cup$ », et « et » est représenté par le symbole « $\cap$ ». Pour l’ensemble $\bm{X}$ et $\bm{Y}$ , nous écrivons comme « $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$ » et « $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$ ».

Par exemple, définissons l’ensemble $\bm{X}$ rassemblant les « choses sucrées » comme « $\bm{X}$

$\{$ Miel

Sucre

Pamplemousse $\}$ », et l’ensemble $\bm{Y}$ rassemblant les « choses acides » comme « $\bm{Y}$

$\{$ Vinaigre semicolon

Citron

Pamplemousse $\}$ ». Dans ce cas, « choses sucrées ou choses acides » devient « $\bm{X}$ $\cup$ $\bm{Y}$

$\{$ Miel

Sucre

Pamplemousse semicolon

Vinaigre

Citron $\}$ », et « choses sucrées et choses acides » devient « $\bm{X}$ $\cap$ $\bm{Y}$

$\{$ Pamplemousse $\}$ ».

En d’autres termes, « $\cup$ » peut être dit comme quelque chose qui combine les ensembles, et « $\cap$ » peut être dit comme quelque chose qui extrait la partie commune des ensembles.

1.6Ensemble vide

Un ensemble sans éléments existe et est appelé l’« Ensemble vide », représenté par le symbole « $\emptyset$ ». Par exemple, lorsqu’il n’y a pas d’éléments dans l’ensemble $\bm{X}$ , c’est « $\bm{X}$

$\emptyset$ ». Ce symbole ressemble à la lettre grecque « $\phi$ (phi) », mais c’est un symbole différent.

« $\emptyset$ » et « $\{$ $\emptyset$ $\}$ » sont des ensembles différents. « $\emptyset$ » est un ensemble sans éléments, mais « $\{$ $\emptyset$ $\}$ » est un ensemble qui a « $\emptyset$ » comme élément.

2.Entiers Naturels

Maintenant, pour prouver «

», définissons les « Entiers Naturels » en utilisant des ensembles.

Les « Entiers Naturels » sont une série de nombres continuant sans fin comme «

$\dots$ ». Inclure ou non «

» dans les entiers naturels dépend de l’école de pensée. En mathématiques modernes, il est souvent inclus, mais dans le domaine de la théorie des nombres, la clause « sauf

» apparaît fréquemment, donc il est souvent non inclus. Cette fois, nous allons l’inclure.

Définissons l’ensemble de tous les entiers naturels $\mathbb{N}$ . Pour la définition de $\mathbb{N}$ , il pourrait sembler suffisant de dire, par exemple, « $\mathbb{N}$

$\{$

$\dots$ $\}$ ». Cependant, cela repose sur la prémisse que nous savons qu’il continue comme «

$\dots$ » ensuite, donc cela ne peut pas être appelé une définition rigoureuse. Par conséquent, cette fois, nous adopterons ce qu’on appelle les « Axiomes de Peano » comme définition des entiers naturels.

Selon les « Axiomes de Peano », les « Entiers Naturels » sont des choses qui satisfont la structure suivante.

En décomposant, en partant de «

», en connectant sans fin comme « le successeur de

est

», « le successeur de

est

», et n’ayant ni branches ni boucles est ce que nous appelons « Entiers Naturels ». Illustrer le contenu de (1) à (5) de cette définition ressemble à ce qui suit.

(3) et (4) éliminent les branches et les boucles, et (5) élimine les séquences autres que «

$\dots$ ». De cette figure, vous pouvez voir qu’elle exclut d’autres cas pour que les entiers naturels deviennent un chemin unique comme «

$\dots$ ».

Maintenant, nous considérons tout ce qui satisfait une telle « structure » comme des entiers naturels. Le point important n’est pas que les « Entiers Naturels » existent concrètement, mais que lorsque quelque chose de concret a une telle « structure », nous l’appelons un entier naturel. En le percevant ainsi, nous pouvons traiter diverses choses comme des entiers naturels.

Alors, construisons les entiers naturels en utilisant uniquement des ensembles. Comme expliqué au début, les ensembles sont les éléments de base des mathématiques, donc si nous pouvons construire la structure des entiers naturels avec juste des ensembles, les entiers naturels peuvent aussi être traités comme des éléments mathématiques.

Par exemple, si nous représentons

comme l’ensemble vide « $\emptyset$ », et pour un nombre

, représentons le successeur comme « $\{$ $\}$ », nous pouvons définir «

$\dots$ » comme « $\emptyset$

», « $\{$ $\emptyset$ $\}$

», « $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

», « $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$

», « $\{$ $\{$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$ $\}$ $\}$

». Cela satisfait chaque condition des axiomes de Peano. Par conséquent, nous pouvons dire que c’est un entier naturel.

Comme autre exemple, si nous représentons

comme l’ensemble vide « $\emptyset$ », et pour un nombre

, représentons le successeur comme « $\cup$ $\{$ $\}$ », cela va comme « $\emptyset$

», « $\emptyset$ $\cup$ $\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ $\}$

$\{$

$\}$

», « $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\cup$ $\{$ $\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$ $\emptyset$ semicolon

$\{$ $\emptyset$ $\}$ $\}$

$\{$

$\}$

», « (omis)

$\{$

$\}$

», « $\{$

$\}$

». Cela satisfait aussi les axiomes de Peano, donc nous pouvons dire que c’est aussi un entier naturel.

De cette façon, les entiers naturels peuvent être construits à partir d’ensembles de plusieurs manières. Spécifiquement quelle méthode a été utilisée pour construire les entiers naturels n’est pas important, toute méthode convient tant qu’elle satisfait les axiomes de Peano. Ci-après, nous représenterons les entiers naturels construits de cette façon comme l’ensemble « $\mathbb{N}$ $\{$ $\dots$ $\}$ ».

3.Théorie axiomatique des ensembles

3.1Le paradoxe de Russell

Jusqu’ici, nous avons avancé avec la discussion quelque peu intuitivement, mais la logique stricte révèle que manipuler des ensembles intuitivement comme cela s’effondre. Un exemple de cela est le « Paradoxe de Russell ». Le Paradoxe de Russell est comme suit.

D’abord, considérez l’ensemble « Mots » rassemblant tout ce qui est un mot. Dans ce cas, « Mots » lui-même est aussi un mot, donc il appartient à cet ensemble. C’est-à-dire, cela devient comme « Mots

$\{$ Chien semicolon

Pomme

Mots

$\dots$ $\}$ ».

Ensuite, considérez l’ensemble « Émojis » rassemblant tout ce qui est un émoji. Dans ce cas, « Émojis » lui-même n’est pas un émoji, donc il n’appartient pas à cet ensemble. C’est-à-dire, cela devient comme « Émojis

$\{$

$\dots$ $\}$ ».

En pensant de cette façon, les ensembles peuvent être divisés en deux types : ceux comme « Mots » où « l’ensemble lui-même appartient à l’ensemble », et ceux comme « Émojis » où « l’ensemble lui-même n’appartient pas à l’ensemble ».

Ici, considérons l’ensemble rassemblant tous les « ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes ». Puisque « Émojis » était un « ensemble qui ne s’appartient pas à lui-même », cela devient « Ensemble des ensembles ne s’appartenant pas à eux-mêmes $\{$ Émojis $\dots$ $\}$ ». Maintenant, cet ensemble s’appartient-il à lui-même ? C’est-à-dire, cela devient-il « Ensemble des ensembles ne s’appartenant pas à eux-mêmes $\{$ ÉmojisEnsemble des ensembles ne s’appartenant pas à eux-mêmes $\dots$ $\}$ » ?

Si nous supposons qu’il s’appartient à lui-même, c’est un « ensemble qui ne s’appartient pas à lui-même » pourtant il appartient, donc c’est une contradiction. Aussi, si nous supposons qu’il ne s’appartient pas à lui-même, il satisfait la condition « ensemble qui ne s’appartient pas à lui-même », donc il devrait appartenir à cet ensemble, ce qui est aussi une contradiction.

Comme expliqué dans la Leçon 1, une proposition doit être soit vraie soit fausse, donc une telle question ne peut pas être une proposition. En d’autres termes, si nous admettons un ensemble comme « l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes », cela mène à un effondrement logique.

3.2Théorie axiomatique des ensembles

Par conséquent, un mouvement est né pour définir les ensembles non pas par des définitions intuitives comme « une collection de choses » mais par des « axiomes » qui déterminent rigoureusement ce qu’est un ensemble. C’est appelé « Théorie axiomatique des ensembles ». L’intuitive est appelée « Théorie naïve des ensembles ».

4.Axiomes de l’addition

Maintenant, finalement, prouvons « ». Aux entiers naturels définis jusqu’ici, nous ajoutons les axiomes suivants.

C’est appelé les « Axiomes de l’addition ». En utilisant cet axiome, nous pouvons prouver «

». C’est comme suit.

Juste en appliquant mécaniquement les axiomes de l’addition, «

» est dérivé de «

». De même, vous pouvez vérifier que «

», «

», etc. peuvent être prouvés, donc s’il vous plaît essayez.

Cette fois, nous avons défini les entiers naturels en utilisant des ensembles et prouvé «

» en utilisant les axiomes de l’addition. La prochaine fois, nous parlerons de divers nombres incluant les « entiers » qui incluent les nombres négatifs dans les entiers naturels !

Leçon 2Ensembles et nombres naturels

1.Théorie naïve des ensembles

1.1Ensembles et Éléments

1.2Notation en extension et en compréhension

1.3Sous-ensemble et Égalité

1.4Ensembles d’ensembles

1.5Union et Intersection

1.6Ensemble vide

2.Entiers Naturels

3.Théorie axiomatique des ensembles

3.1Le paradoxe de Russell

3.2Théorie axiomatique des ensembles

4.Axiomes de l’addition

Leçon 2
Ensembles et nombres naturels