Leçon 1 Axiomes et démonstrations - Mathématiques de Kuina-chan

18 mars 2026

Kuina-chan

Dans la leçon 1 de « Mathématiques de Kuina-chan », nous expliquerons les règles et conventions des mathématiques !

1.Axiomes, Théorèmes et Démonstrations

En mathématiques, d’une manière générale, nous partons de certaines prémisses qui sont supposées être correctes, et nous dérivons logiquement des choses qui peuvent être dites correctes. Ces prémisses correctes prédéterminées sont appelées « axiomes ».

En plus des axiomes, certaines règles sont définies, et en mathématiques, nous utilisons des axiomes et ces règles pour dériver des choses correctes les unes après les autres.

Les choses correctes nouvellement dérivées, avec les axiomes, sont appelées « théorèmes », et le processus de dérivation d’un théorème est appelé une « démonstration ».

D’un autre point de vue, résoudre un problème mathématique est la tâche de trouver une démonstration de la façon dont la réponse au problème devient un théorème, en utilisant les théorèmes dérivés jusqu’à présent.

2.Propositions et Formules Logiques

Maintenant, les objets qui peuvent être jugés quant à savoir s’ils sont des théorèmes ou non, tels que « c’est

» et « c’est

», sont appelés « propositions ».

Il existe plusieurs façons de gérer les propositions, mais ici, pour simplifier, nous utiliserons « Vrai » et « Faux » des formules logiques pour exprimer que « qu’une proposition soit un théorème est ‘Vrai’, et qu’elle ne soit pas un théorème est ‘Faux’ ». Par exemple, si la proposition « c’est

» est un théorème, alors « c’est

» est « Vrai ». Si la proposition « c’est

» ne devient pas un théorème, alors « c’est

» est « Faux ».

Supplément

Les formules qui gèrent Vrai et Faux de cette manière sont appelées « formules logiques ». Cette fois, nous avons décidé d’utiliser la valeur de vérité des formules logiques pour exprimer si une proposition est un théorème, mais il existe d’autres façons d’exprimer si une proposition est un théorème. Par exemple, une idée est de considérer une proposition qui est toujours Vraie, appelée « tautologie », comme un théorème.

À ce moment, nous représenterons les propositions avec des lettres telles que «

» et «

». Ensuite, nous envisageons de créer de nouvelles propositions en les combinant, telles que « si alors » et « et ».

Par exemple, si

est la proposition « c’est

» et

est la proposition « c’est

», en disant «

», nous pouvons créer la proposition « c’est

, ou, c’est

».

Habituellement, « ou » est représenté par le symbole « $\lor$ », et « et » est représenté par le symbole « $\land$ », écrits comme «

$\lor$

» et «

$\land$

». C’est-à-dire que la proposition « c’est

ou c’est

» peut être écrite comme «

$\lor$

».

Au fait, «

» signifie que c’est Vrai si ou est Vrai. Par exemple, si la proposition « c’est

ou c’est

» est Vraie, cela signifie que «

» ou «

» est Vrai. En d’autres termes, le résultat de «

$\lor$

» est tel qu’indiqué dans le tableau suivant.

		$\lor$
Faux	Faux	Faux
Faux	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Vrai
Vrai	Vrai	Vrai

D’autre part, «

» signifie que c’est Vrai si à la fois et sont Vrais. En d’autres termes, le résultat de «

$\land$

» est tel qu’indiqué dans le tableau suivant.

		$\land$
Faux	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Vrai	Faux	Faux
Vrai	Vrai	Vrai

Par exemple, supposons que «

» est Vrai, c’est-à-dire un théorème, et «

» est Faux, c’est-à-dire pas un théorème. À ce moment, «

$\land$

» devient « Vrai et Faux », ce qui est Faux, ce qui signifie que ce n’est pas un théorème.

Supplément

Pour être précis, nous avons décidé ici que si une proposition créée en utilisant « ou » ou « et » dans une formule logique est Vraie, c’est un théorème. À partir de maintenant, nous déciderons de la même manière que ce qui devient Vrai dans une formule logique est un théorème.

3.Propriétés des Formules Logiques

À partir d’ici, nous expliquerons diverses propriétés des formules logiques qui sont nécessaires lors de la démonstration de théorèmes.

3.1Négation, Principe du Tiers Exclu et Contradiction

Lors de l’expression d’une proposition négative « ce n’est pas

» par rapport à la proposition « c’est

», nous utilisons le symbole « $\neg$ ». Pour une proposition

, « pas

» s’écrit « $\neg$ », et le résultat à ce moment-là est tel qu’indiqué dans le tableau suivant.

	$\neg$
Faux	Vrai
Vrai	Faux

D’après ce tableau, nous pouvons voir que pour toute proposition

, soit «

» soit « $\neg$

» est Vrai, c’est-à-dire qu’il devient un théorème. En d’autres termes, il n’y a pas de proposition où ni «

» ni « $\neg$

» n’est un théorème. Cette loi selon laquelle « il n’y a pas de proposition où ni ni $\neg$ ne devient un théorème » est appelée le « principe du tiers exclu ».

D’autre part, le fait que « à la fois et $\neg$ sont des théorèmes » est appelé une « contradiction ». D’après ce tableau, nous pouvons également voir qu’il n’y a pas de proposition qui cause une contradiction.

En combinant le principe du tiers exclu et la contradiction, nous pouvons également prouver sa négation en provoquant intentionnellement une contradiction, comme « si nous supposons que

est un théorème, cela contredit, donc $\neg$

est un théorème ».

3.2Implication Logique

Comme autre symbole pour les formules logiques, il y a « $\Rightarrow$ » qui signifie « si alors ». C’est une proposition selon laquelle « quand

est vrai,

est vrai ».

Le fait que la proposition «

$\Rightarrow$

» soit un théorème signifie que chaque fois que «

est Vrai », «

est également Vrai ».

À ce moment, quand «

est Faux », peu importe ce qu’est

. En d’autres termes, quand «

est Faux », peu importe ce qu’est

, le fait que «

$\Rightarrow$

» soit un théorème n’est pas renversé, donc à ce moment «

$\Rightarrow$

» peut être dit Vrai.

C’est-à-dire que si de « $\Rightarrow$ » est Faux, « $\Rightarrow$ » est Vrai que soit Vrai ou Faux. C’est comme indiqué dans le tableau suivant.

		$\Rightarrow$
Faux	Faux	Vrai
Faux	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Vrai	Vrai	Vrai

Par exemple, quand il y a un théorème « si

, alors

est un nombre impair », il ne dit rien sur le cas où

n’est pas

, donc si

n’est pas

, que

soit un nombre pair ou un nombre impair, ce théorème ne sera pas renversé. Par conséquent, nous pouvons comprendre que quand « si Faux, alors... », cette proposition devrait toujours être Vraie.

3.3Propositions Équivalentes

Maintenant, quand les valeurs de vérité des propositions

correspondent toujours,

sont dits « équivalents », et nous écrivons « ».

devient un théorème quand

est un théorème, et

devient un théorème quand

est un théorème, on peut dire que les valeurs de vérité de

correspondent, donc

sont équivalents. En d’autres termes, écrit comme une formule logique, quand «

$\Rightarrow$

$\land$

$\Rightarrow$

»,

sont équivalents. Pour cette raison, «

» est parfois écrit avec le symbole « $\Leftrightarrow$ ».

sont équivalents, prouver l’un signifie prouver l’autre également. Le résultat de «

» est tel qu’indiqué dans le tableau suivant.


Faux	Faux	Vrai
Faux	Vrai	Faux
Vrai	Faux	Faux
Vrai	Vrai	Vrai

3.4Réciproque, Inverse et Contraposée

Quand il y a une proposition sous la forme de «

$\Rightarrow$

», «

$\Rightarrow$

» avec

inversés est appelé la proposition « réciproque ». De plus, «

$\neg$

$\Rightarrow$

$\neg$

» avec la négation ajoutée à

est appelé l’« inverse », et «

$\neg$

$\Rightarrow$

$\neg$

» qui est à la fois réciproque et inverse est appelé la « contraposée ».

Parmi celles-ci, la contraposée est particulièrement importante, et la contraposée est équivalente à la proposition originale. Par exemple, pour la proposition « si

, alors

est un nombre impair », la contraposée est « si

n’est pas un nombre impair, alors ce n’est pas

», et ces deux propositions sont équivalentes.

En d’autres termes, quand vous voulez prouver une proposition, vous pouvez prouver la proposition originale en prouvant la proposition contraposée au lieu de prouver la proposition originale.

3.5Lois de De Morgan

De plus, comme loi importante, il y a les « lois de De Morgan ».

Les lois de De Morgan sont les lois selon lesquelles « $\neg$ $\land$ » et « $\neg$ $\lor$ $\neg$ » sont équivalents, et « $\neg$ $\lor$ » et « $\neg$ $\land$ $\neg$ » sont équivalents. Pour le décomposer, c’est une loi selon laquelle quand les parenthèses de « $\neg$

$\dots$

» sont supprimées, le « $\land$ » et le « $\lor$ » à l’intérieur sont échangés, et « $\neg$ » est distribué.

Par exemple, la proposition « ce n’est pas ‘

est un nombre pair et

est

ou plus’ » est la même chose que de dire «

n’est pas un nombre pair, ou

n’est pas

ou plus ». De plus, « ce n’est pas ‘

est un nombre pair ou

est

ou plus’ » est la même chose que de dire «

n’est pas un nombre pair, et

n’est pas

ou plus ».

C’est utile quand vous voulez transformer et organiser des propositions complexes.

4.Fonctions Propositionnelles

Pour gérer une plus grande variété de théorèmes et de propositions, approfondissons un peu les formules logiques.

Quelque chose qui devient une proposition quand il reçoit une valeur de l’extérieur est appelé une « fonction propositionnelle ». Par exemple, pour la description « c’est

», si vous substituez

, cela devient la proposition « c’est

», donc « c’est

» est une fonction propositionnelle.

En plus de valeurs spécifiques telles que «

» et «

», les fonctions propositionnelles peuvent prendre des choses comme « toutes les valeurs » et « une certaine valeur ». En ajoutant les symboles « $\forall$ » et « $\exists$ » avant des lettres telles que «

» et «

», ils représentent respectivement « toutes les valeurs » et « il existe une certaine valeur ».

Par exemple, si vous entourez la fonction propositionnelle « c’est

» avec $\forall$

et substituez

et l’écrivez comme « $\forall$

c’est

», cela représente la proposition « pour toutes les valeurs , c’est

». De même, si vous l’entourez avec $\exists$

et substituez

et l’écrivez comme « $\exists$

c’est

», cela devient la proposition « il existe une certaine valeur telle que c’est

».

Comme exemple spécifique, supposons qu’il y ait une fonction propositionnelle «

», et la proposition «

» avec

substitué à

est Vraie, et la proposition «

» avec

substitué à

est Fausse.

À ce moment, parce qu’il y a «

», «

» ne devient pas Vrai pour tous les

. Par conséquent, « $\forall$ $\forall$ » est Faux. De plus, parce qu’il y a «

», il existe au moins certains

tels que «

» devient Vrai. Par conséquent, « $\exists$ $\exists$ » est Vrai.

5.Logique Intuitionniste

Enfin, je vais présenter brièvement une façon différente de penser appelée « logique intuitionniste ».

Jusqu’à présent, nous avons supposé le « principe du tiers exclu », qui stipule que lorsqu’il y a des propositions

et $\neg$

, au moins l’une d’entre elles est un théorème, mais la logique intuitionniste n’utilise pas ce principe du tiers exclu. En d’autres termes, avec la logique jusqu’à présent, nous pourrions dire « Je ne sais pas si vous aimez les mathématiques, mais soit vous aimez les mathématiques, soit vous ne les aimez pas », mais avec la logique intuitionniste, nous ne pouvons même pas dire cela, et cela devient « Je ne sais même pas si soit vous aimez les mathématiques, soit vous ne les aimez pas ». Elle considère la possibilité que nous ne sachions pas si cela peut être prouvé.

Si nous ne supposons pas le principe du tiers exclu, de nombreux théorèmes ne peuvent pas être prouvés, donc la logique intuitionniste n’est pas courante dans de nombreux domaines des mathématiques, mais elle est hautement compatible et souvent utilisée dans les domaines qui ciblent la logique elle-même et l’informatique.

Cette fois, nous avons expliqué les règles de base des mathématiques. La prochaine fois, prouvons réellement un théorème à partir d’axiomes spécifiques !

Leçon 1Axiomes et démonstrations

1.Axiomes, Théorèmes et Démonstrations

2.Propositions et Formules Logiques

3.Propriétés des Formules Logiques

3.1Négation, Principe du Tiers Exclu et Contradiction

3.2Implication Logique

3.3Propositions Équivalentes

3.4Réciproque, Inverse et Contraposée

3.5Lois de De Morgan

4.Fonctions Propositionnelles

5.Logique Intuitionniste

Leçon 1
Axiomes et démonstrations