Leçon 4 Nombres réels et applications - Mathématiques de Kuina-chan

17 mars 2026

Kuina-chan

Les maths de Kuina-chan La Leçon 4 explique les fonctions et les applications qui relient les nombres ! Nous supposons que vous avez lu la Leçon 1.

La Leçon 3 a défini les entiers « $\mathbb{Z}$ ». Cette fois, nous expliquerons les nombres rationnels « $\mathbb{Q}$ » et les nombres réels « $\mathbb{R}$ », qui sont ce qu’on appelle des décimaux, ainsi que les fonctions et les applications.

1.Nombres Rationnels et Nombres Réels

Jusqu’à présent, nous avons traité des entiers, mais à partir de maintenant, nous traiterons des « nombres rationnels » et des « nombres réels » plus détaillés. Ce sont ce que nous appelons des « décimaux ».

1.1Nombres Rationnels

Un nombre qui peut être exprimé sous la forme d’une fraction de « entierentier » où le dénominateur est différent de

est appelé un « nombre rationnel ». Par exemple, «

», «

» et «

» sont des nombres rationnels. Le nombre décimal «

$\dots$ » est aussi un nombre rationnel car il peut être exprimé par la fraction «

».

À ce stade, nous notons l’ensemble de tous les nombres rationnels « $\mathbb{Q}$ ». C’est-à-dire, « $\mathbb{Q}$

$\{$

$\dots$

$\dots$ $\}$ ».

1.2Conversion de Décimal en Fraction

Soit dit en passant, les décimaux où les chiffres se répètent comme «

$\dots$ » peuvent toujours être convertis en fractions « entier

entier », ce sont donc des nombres rationnels. «

» est aussi un nombre rationnel car il se répète comme «

$\dots$ ».

La méthode pour convertir un nombre décimal périodique comme «

$\dots$ » en fraction est la suivante.

Tout nombre décimal périodique peut être converti en fraction en utilisant cette méthode.

1.3Nombres Irrationnels

D’autre part, les nombres décimaux non périodiques sont appelés « nombres irrationnels ». Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions « entier

entier ». Des exemples de nombres irrationnels incluent Pi «

$\dots$ » et le nombre qui devient

lorsqu’il est élevé au carré, «

$\dots$ ».

Les nombres rationnels et les nombres irrationnels ensemble sont appelés « nombres réels ». Nous notons l’ensemble de tous les nombres réels « $\mathbb{R}$ ».

Supplément

Dans cette définition des « nombres réels », nous avons utilisé le terme vague « décimal », mais il peut être défini plus rigoureusement. Il existe plusieurs façons de le définir, mais en termes simples, si vous alignez une infinité de nombres rationnels, ils peuvent s’approcher arbitrairement près de quelque chose. Ce nombre peut ne pas être un nombre rationnel, et nous le définissons comme un nombre irrationnel. Les nombres rationnels et les nombres irrationnels ensemble sont des nombres réels.

Maintenant, tous les nombres naturels sont inclus dans les entiers. De plus, tous les entiers sont inclus dans les nombres rationnels. Par conséquent, la relation d’inclusion des nombres introduits jusqu’à présent est la suivante.

\mathbb{N} — Relation d’Inclusion des Nombres Principaux

\subset — Relation d’Inclusion des Nombres Principaux

1.4Opérations Principales

Pour les nombres rationnels et les nombres réels, tout comme les entiers, l’addition «

», la soustraction «

», la multiplication «

$\cdot$

», l’exponentiation «

$^{b}$ » et la valeur absolue «

» sont définies pour deux nombres

. Aussi, pour

non égal à

, la division «

» est également définie. Cependant, si

vaut

, par exemple «

», c’est indéfini.

De plus, la « racine carrée » est définie pour les nombres réels. La « racine carrée de » est qui satisfait « $^{2}$ ». Par exemple, les « racines carrées de

» sont les deux nombres «

» car «

$^{2}$ » et «

$^{2}$ » sont vrais. De même, les « racines carrées de

» sont «

».

Parmi les racines carrées, celle qui est supérieure ou égale à

est appelée la « racine carrée positive » et est représentée par le symbole « $\sqrt{x}$ ». C’est-à-dire, « $\sqrt{9}$

» et « $\sqrt{4}$

».

En étendant cela, la valeur de satisfaisant « $^{n}$ » est appelée la « racine -ième de ». Et la racine

-ième de

(où

est supérieur ou égal à

) est exprimée comme « $\sqrt[n]{x}$ ». Par exemple, puisque «

$^{4}$ », « $\sqrt[4]{16}$

».

Voici quelques valeurs de racines carrées positives.

\sqrt{0} — Valeurs de Racines Carrées Positives

Racine Carrée Positive
$\sqrt{0}$
$\sqrt{1}$
$\sqrt{2}$ $\dots$
$\sqrt{3}$ $\dots$
$\sqrt{4}$
$\sqrt{5}$ $\dots$
$\sqrt{6}$ $\dots$
$\sqrt{7}$ $\dots$
$\sqrt{8}$ $\dots$
$\sqrt{9}$

Si nous représentons graphiquement la racine carrée positive

$\sqrt{x}$ , cela ressemble à la figure ci-dessous. Si

est inférieur à

, il n’y a pas de nombre réel qui devient

lorsqu’il est élevé au carré, donc $\sqrt{x}$ n’est pas défini.

Soit dit en passant, $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. C’est simple, alors prouvons-le.

De cette manière, la méthode de preuve consistant à « supposer que $\neg$

est vrai pour dériver intentionnellement une contradiction, et prouver

par élimination » est appelée « raisonnement par l’absurde ».

2.Équations de Degré Supérieur

2.1Équations Linéaires

Essayons de résoudre des équations de nombres réels. Tout d’abord, voici un problème simple ci-dessous.

Une équation de la forme « (où

$\neq$

) » est appelée une « équation linéaire ». Une équation linéaire peut être facilement résolue simplement en ajoutant ou en multipliant le même nombre des deux côtés.

2.2Équations Quadratiques

Le suivant est un problème légèrement plus complexe ci-dessous.

Une équation de la forme « $^{2}$ (où

$\neq$

) » est appelée une « équation quadratique ». Une équation quadratique peut être facilement résolue si elle peut être transformée sous la forme « », donc nous visons cette forme.

Tout d’abord, développer le côté gauche de l’équation «

». Il existe une règle « », donc en appliquant cela de manière répétée pour supprimer les parenthèses, nous pouvons la transformer en «

$^{2}$

». Nous nous sommes rapprochés de l’équation du problème.

En comparant cela « $^{2}$ » avec l’équation du problème « $^{2}$ », nous pouvons voir que si nous insérons

dans «

» et

dans «

», nous pouvons faire la même équation. Si nous pensons à des

appropriés tels que «

» et «

», nous trouvons que «

». En les insérant, nous obtenons «

$^{2}$

$\cdot$

».

Donc, d’après les résultats jusqu’à présent, nous avons trouvé que l’équation du problème «

$^{2}$

» peut être transformée en «

$^{2}$

$\cdot$

», et cela peut être transformé en «

». En d’autres termes, au lieu de l’équation du problème, trouvons

qui satisfait «

». Cela signifie que multiplier «

» et «

» donne

, donc au moins l’un d’eux doit être .

En considérant le cas où «

» est

, nous trouvons

. En considérant le cas où «

» est

, nous trouvons

. Les deux ne deviennent pas

simultanément. Par conséquent, ce sont toutes les solutions. C’est-à-dire,

satisfaisant

$^{2}$

est .

2.3Formule Quadratique

Soit dit en passant, la solution à une équation quadratique peut aussi être résolue par la formule suivante appelée « formule quadratique ».

En effet, nous avons obtenu les mêmes solutions qu’avant.

3.Applications

Enfin, nous expliquerons les fonctions et les applications.

Une « application » est quelque chose qui fait correspondre chaque élément d’un certain ensemble à un élément d’un certain ensemble, et est parfois appelée une « fonction ». Dans la figure ci-dessous, ce qui correspond à la collection de « flèches » reliant les éléments est l’application.

Une application

associant un élément de l’ensemble $\bm{A}$ à un élément de l’ensemble $\bm{B}$ est exprimée comme « $\bm{A}$ $\rightarrow$ $\bm{B}$ ». Aussi à ce moment, l’élément de l’ensemble $\bm{B}$ correspondant à l’élément

de l’ensemble $\bm{A}$ est exprimé comme « ». Par exemple, dans cette figure, puisque l’élément

$_{2}$ est associé à l’élément

$_{1}$ , cela devient

$_{1}$

$_{2}$ .

Lorsque «

$\bm{A}$ $\rightarrow$ $\bm{B}$ », pour tout élément

de l’ensemble $\bm{A}$ , il existe exactement un élément correspondant

dans l’ensemble $\bm{B}$ . Il n’arrive jamais qu’il n’y ait pas de destination ou plusieurs destinations.

Aussi, une application peut associer entre le même ensemble. En d’autres termes, cela peut être «

$\bm{A}$ $\rightarrow$ $\bm{A}$ ».

Par exemple, pour l’ensemble de tous les nombres naturels $\mathbb{N}$ , «

» qui double l’élément

de $\mathbb{N}$ devient l’application «

$\mathbb{N}$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$ ».

3.1Surjection, Injection, Bijection

Dans «

$\bm{A}$ $\rightarrow$ $\bm{B}$ », si les éléments de $\bm{A}$ correspondent à tous les éléments de $\bm{B}$ sans en laisser de côté,

est appelée une « surjection ». Strictement parlant, lorsque la collection de

pour tous les éléments

de l’ensemble $\bm{A}$ correspond à l’ensemble $\bm{B}$ ,

est une surjection.

Aussi, lorsque les éléments de $\bm{B}$ correspondant à chaque élément de $\bm{A}$ n’ont pas de doublons,

est appelée une « injection ». Strictement parlant, pour n’importe quels deux éléments différents

de $\bm{A}$ , si

sont toujours différents,

est une injection.

Lorsque l’application

est à la fois surjective et injective,

est appelée une « bijection ». À ce moment, les éléments de $\bm{A}$ et les éléments de $\bm{B}$ correspondent exactement un pour un.

Les images de surjection, injection et bijection sont résumées dans la figure ci-dessous.

3.2Application Inverse

L’application avec la direction de correspondance inversée de l’application

est appelée l’« application inverse » de

et est exprimée comme « $^{-}$ $^{1}$ ». Strictement parlant, bien que ce soit compliqué à expliquer, lorsque deux applications «

$\bm{A}$ $\rightarrow$ $\bm{B}$ » et «

$\bm{B}$ $\rightarrow$ $\bm{A}$ » satisfont toujours «

» pour tout élément

de $\bm{A}$ et satisfont toujours «

» pour tout élément

de $\bm{B}$ ,

est l’application inverse de

$^{-}$ $^{1}$ ».

Par exemple, si nous considérons l’application «

$\mathbb{Z}$ $\rightarrow$ $\mathbb{Z}$ » définie par «

» et l’application «

$\mathbb{Z}$ $\rightarrow$ $\mathbb{Z}$ » définie par «

», puisque la direction de correspondance est inversée, nous pouvons dire que

est l’application inverse de

$^{-}$ $^{1}$ ».

Soit dit en passant, si l’application

n’est pas une bijection, l’application inverse n’existe pas pour

. Aussi, si

est une bijection, l’application inverse

$^{-}$ $^{1}$ de

existe toujours, et il n’y en a qu’une sorte.

Nous avons expliqué les nombres réels et les applications cette fois. La prochaine fois, nous expliquerons diverses figures telles que les triangles et les cercles !

Leçon 4Nombres réels et applications

1.Nombres Rationnels et Nombres Réels

1.1Nombres Rationnels

1.2Conversion de Décimal en Fraction

1.3Nombres Irrationnels

1.4Opérations Principales

2.Équations de Degré Supérieur

2.1Équations Linéaires

2.2Équations Quadratiques

2.3Formule Quadratique

3.Applications

3.1Surjection, Injection, Bijection

3.2Application Inverse

Leçon 4
Nombres réels et applications